Question

已知在數列{a_n}中，a₁=3，點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，若數列{b_n}滿足b_n=a_n•3ⁿ，記T_n是數列{b_n}的前n項的和，那么T_n=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得a_n+1=a_n+2，從而數列{a_n}是以3為首項，以2為公差的等差數列，a_n=3+2（n-1）=2n+l，從而b_n=（2n+1）•3ⁿ，由此能求出{b_n}的前n項的和．

解答： 解：∵點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，
∴a_n+1=a_n+2，即a_n+1-a_n=2，
∴數列{a_n}是以3為首項，以2為公差的等差數列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+l．
∵bn=an•3n，
∴b_n=（2n+1）•3ⁿ，
∴T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）•3ⁿ，①
∴3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得-2T_n=3×3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=9+2×

9(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=-2n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．
故答案為：n•3ⁿ⁺¹．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．