Question

【題目】在△ABC中， ， ，且△ABC的周長(zhǎng)為 ．
（1）求點(diǎn)A的軌跡方程C；
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，1）作曲線C的一條弦，使弦被這點(diǎn)平分，求此弦所在的直線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4 ，|BC|=4 ．

∴|AB|+|AC|=8＞|BC|．

∴點(diǎn)A的軌跡為橢圓，去掉與x軸的交點(diǎn)．

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： =1（a＞b＞0）．

則2a=8，c=2 ，b2=a2﹣c2，

聯(lián)立解得a=4，b=2．

（2）解：設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=4，y1+y2=2．∵A，B在橢圓上，∴ ，

兩式相減，得 ∴ ，

∴ ，∴直線方程為x+2y﹣4=0

【解析】（1）由題意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4 ，|BC|=4 ．可得|AB|+|AC|=8＞|BC|．因此點(diǎn)A的軌跡為橢圓，去掉與x軸的交點(diǎn)．設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： =1（a＞b＞0）．則2a=8，c=2 ，b2=a2﹣c2 ， 聯(lián)立解得即可得出．（2）設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：x1+x2=4，y1+y2=2．由A，B在橢圓上，可得 ， 兩式相減，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．