Question

已知橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點P（2，

2

），一個焦點F的坐標是（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓T的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與橢圓T交于A、B兩點，O為坐標原點，橢圓T的離心率為e，若k_OA•k_OB=e²-1．
①求

OA

•

OB

的取值范圍；
②求證：△AOB的面積為定值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）通過焦點的坐標求出c的值，得到a²=b²+4，從而有

4

b2+4

+

2

b2

=1，解方程求出b的值，從而求出橢圓的方程；
（Ⅱ）由直線和橢圓得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，設出A，B的坐標，根據根與系數的關系表示出

OA

•

OB

，△AOB的面積，從而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵焦點F的坐標是（2，0），即c²=4，
∴a²=b²+4，
∴

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，
將（2，

2

）代入橢圓的方程得：

4

b2+4

+

2

b2

=1，解得：b²=4，
∴a²=8，
∴橢圓的方程是：

x2

8

+

y2

4

=1；

（Ⅱ）證明：將y=kx+m代入

x2

8

+

y2

4

=1整理得：
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
當△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，
即8k²+4＞m²時，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=

2m2-8

1+2k2

，
則y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁ x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

m2-8k2

1+2k2

，
∵橢圓T的離心率e=

2

2

，
K_OA•K_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
即

m2-8k2

2m2-8

=-

1

2

，得：m²=4k²+2，
∴

OA

•

OB

=

3m2-8k2-8

1+2k2

=

4k2-2

1+2k2

，
當k=0時，

OA

•

OB

=-2，
當k→∞時，

OA

•

OB

→2，
∴-2≤

OA

•

OB

＜2，
而△AOB的面積S=

1

2

|x₁y₂-x₂y₁|
=

|m|

2

•|x₁-x₂|
=

2 (2+4k2)(1+2k2)

1+2k2

=2

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單性質，考查了直線和橢圓的關系，考查定值問題，是一道綜合題．