Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，若對于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（Ⅰ）求{a_n}的首項a₁與遞推關系式：a_n+1=f（a_n）；
（Ⅱ）先閱讀下面定理：“若數列{a_n}有遞推關系a_n+1=Aa_n+B，其中A，B為常數，且A≠1，B≠0，則數列{a_n-

B

4-A

}是以A為公比的等比數列．”請你在（Ⅰ）的基礎上應用本定理，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式,類比推理

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）令n=1，由S₁=2a₁-3，知a₁=3，再由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
由此能求出a_n+1=2a_n+3；
（Ⅱ）按照定理得A=2，B=3，則{a_n+3}是公比為2的等比數列，由等比數列的通項公式求出{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）由a_n=6•2^n-1-3的特點，利用分組求和法和等比數列的前n項和公式求出S_n．

解答： 解：（I）令n=1，S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
兩式相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
即a_n+1=2a_n+3…（4分）
（II）按照定理：“若數列{a_n}有遞推關系a_n+1=Aa_n+B（A，B為常數，且A≠1，B≠0），
則數列{a_n-

B

1-A

}是以A為公比的等比數列”，得A=2，B=3，
則a_n-

B

1-A

=a_n+3，所以{a_n+3}是公比為2的等比數列．
則an+3=(a1+3)•2n-1=6×2n-1，
即an=6×2n-1-3．         …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=6×2n-1-3，
所以S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2^n-1-3）
=

6(1-2n)

1-2

-3n=6×2n-3n-6 …（13分）

點評：本題考查數列的S_n與a_n的關系式，等比數列的通項公式、前n項和公式，以及數列的求和方法：分組求和法，考查化簡、靈活變形能力．