Question

已知實數a、b滿足a-b+4≥0，a+b-4≤0，b≥0，b≤ka，記a+2b的最大值為f（k），給出下列命題：
①若m≠n，使得f（m）=f（n），則mn＜0；②?m＞0，?n＜0，使得f（m）=f（n）；③?m＜0，?n＞0，使得f（m）=f（n）．其中錯誤的命題有

 

（寫出所有錯誤命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用,簡易邏輯

分析：分類畫出可行域，求得a+2b的最大值為f（k），由分段函數f(k)=

4+8k 1+k ，k＞0 4，k=0 4+8k k-1 ，k＜0

的單調性判斷①；分段求出值域判斷②③．

解答： 解：當k＞0時，由a-b+4≥0，a+b-4≤0，b≥0，b≤ka作出可行域如圖，

聯立

a+b-4=0 b=ka

，得A（

4

1+k

，

4k

1+k

），
∴f（k）=

4+8k

1+k

；
當k＜0時，由a-b+4≥0，a+b-4≤0，b≥0，b≤ka作出可行域如圖，

聯立

a-b+4=0 b=ka

，得A（

4

k-1

，

4k

k-1

），
∴f（k）=

4+8k

k-1

．
∴f(k)=

4+8k 1+k ，k＞0 4，k=0 4+8k k-1 ，k＜0

．
∵h函數f（k）是（-∞，0），（0，+∞）上的單調函數，
∴若m≠n，使得f（m）=f（n），則mn＜0正確，①正確；
∵f(k)=

4+8k

1+k

(k＞0)∈(4，8).f(k)=

4+8k

k-1

(k＜0)∈(-4，8)．
∴?m＞0，?n＜0，使得f（m）=f（n）正確，②正確；
?m＜0，?n＞0，使得f（m）=f（n）錯誤，③錯誤．
故答案為：③．

點評：本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合和分類討論的數學思想方法，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．