Question

雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率等于

2

，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，直線y=kx-1與雙曲線E的右支點(diǎn)交于A，B兩點(diǎn)，
（1）求k的取值范圍；
（2）若|AB|=6

3

，點(diǎn)C是雙曲線左支上一點(diǎn)，滿足

OC

=m（

OA

+

OB

），求C點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用離心率公式，a，b，c的關(guān)系可得，a=b，再由點(diǎn)到直線的距離公式，得到b=1，再聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用判別式大于0，及韋達(dá)定理，解不等式，即可得到k的范圍；
（2）運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，解得k，設(shè)C（s，t）（s＜0），則s²-t²=1，再由向量的加法運(yùn)算，得到s，t的關(guān)系式，解方程，即可得到C的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由于雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率等于

2

，
則e=

c

a

=

2

，c²=a²+b²，則a=b，
由于漸近線方程為y=±x，則焦點(diǎn)（c，0）到漸近線的距離為1，
則有d=

c

2

=1，則c=

2

，a=b=1，
則有雙曲線方程為x²-y²=1，聯(lián)立直線y=kx-1，消去y，得，
（1-k²）x²+2kx-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則4k²+8（1-k²）＞0，且x₁+x₂=

-2k

1-k2

＞0，x₁x₂=

-2

1-k2

＞0，
解得，1＜k＜

2

，
即有k的取值范圍是（1，

2

）；
（2）|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2+ 8 1-k2

=6

3

，
解得，k²=

5

4

或

5

7

，
由于1＜k＜

2

，則k=

5

2

，
則x₁+x₂=

-2k

1-k2

=4

5

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=

-2

1-k2

=8，
又點(diǎn)C是雙曲線左支上一點(diǎn)，設(shè)C（s，t）（s＜0），
則s²-t²=1，
又

OC

=m（

OA

+

OB

），則s=m（x₁+x₂）=4

5

m，t=m（y₁+y₂）=8m，
由于s＜0，則t＜0，解得，s=-

5

，t=-2．
即有C（-

5

，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)：主要是離心率和漸近線，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，考查平面向量的加法運(yùn)算，屬于中檔題和易錯(cuò)題．