Question

設a＞0，b＞0，c＞0，a²+b²=c²，求證：n≥3（n∈N⁺）時，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：依題意，a²＜c²，b²＜c²，

c

a

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），利用指數函數的單調性即可證得n≥3（n∈N⁺）時，
aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

解答： 證明：∵a、b、c∈R⁺，a²+b²=c²，
∴（

a

c

）²+（

b

c

）²=1，
∴

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），
∵y=（

a

c

）^x與y=（

b

c

）^x均為減函數，
∴當n≥3（n∈N⁺）時（

a

c

）ⁿ＜（

a

c

）²，（

b

c

）ⁿ＜（

b

c

）²；
∴當n≥3（n∈N⁺）時（

a

c

）ⁿ+（

b

c

）ⁿ＜（

a

c

）²+（

b

c

）²=1，
即n≥3（n∈N⁺）時，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

點評：本題考查不等式證明，突出考查指數函數的單調性和運用，考查轉化思想與推理分析的能力，屬于中檔題．