Question

已知函數(shù)f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠1
（1）寫出f（x）的奇偶性與單調(diào)性（不要求證明）；
（2）若函數(shù)y=f（x）的定義域為（-1，1），求滿足不等式f（m²-1）+f（m-1）＜0的實數(shù)m的取值集合；
（3）當(dāng)a∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負(fù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用f（-x）與f（x）關(guān)系式判斷奇偶性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）的單調(diào)性，
（2）根據(jù)單調(diào)性，奇偶性轉(zhuǎn)化為-1＜1-m＜m²-1＜1，求解．
（3）根據(jù)單調(diào)性得出f（2）-4≤0，即

a

a2-1

(a2-a-2)-4=

a2+1

a

-4≤0，求解即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠1，
∴f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），其中a＞0，a≠1
∴f（x）是R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增         
（2）由f（x）的奇偶性可得f（1-m）＜f（m²-1）
由f（x）的定義域及單調(diào)性可得-1＜1-m＜m²-1＜1，
解不等式組可得 1＜m＜

2

（3）由于f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，要f（x）-4恒負(fù)，
只需f（2）-4≤0，
即

a

a2-1

(a2-a-2)-4=

a2+1

a

-4≤0，
2-

3

≤a≤2+

3

，
結(jié)合a＞0且a≠1可得：2-

3

≤a≤2+

3

且a≠1，

點(diǎn)評：本題考察了有關(guān)的指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，運(yùn)用求解不等式式的解集，屬于中檔題．