Question

【題目】如圖，已知四棱錐， 平面，底面中， ， ，且， 為的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）問在棱上是否存在點，使平面，若存在，請求出二面角的余弦值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：(1)要證平面平面，即證平面，即證：

(2) 存在點使平面，在內，過做垂足為，易知為二面角的平面角，從而得到結果.

試題解析：

方法一:（1）證明：∵平面， 平面，

∴. ∵為的中點，且梯形中， ，

∴

∵平面， 平面，且

∴平面.

平面， ∴平面⊥平面

（2）存在點使平面，在內，過做垂足為

由（1）平面， 平面， ，

， 平面

又平面， 平面 知 ，

∵平面平面

∴為二面角的平面角.

在中， ， ，

，

故二面角的余弦值為.

方法二:

∴以為原點，射線， ， 分別為， ， 軸的正半軸，建立空間直角坐標系如圖

，

， ， ， ， ， ，

為的中點，∴，

（1）

∴，

平面， 平面，且

∴平面.

平面， ∴平面⊥平面

（2）存在點使平面，在內，過做垂足為

由（1）平面， 平面， ，

， 平面

設平面的一個法向量為，

則，

，

取.

平面

是平面的一個法向量.

由圖形知二面角的平面角是銳角，

故

所以二面角余弦值為