Question

【題目】已知A為橢圓 =1（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB，AC分別過左右焦點F1 ， F2 ， 且當線段AF1的中點在y軸上時，cos∠F1AF2= ． （Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設 ，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當線段AF1的中點在y軸上時，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形． 因為cos∠F1AF2= ，所以|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|= ，
由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=2a，
則4 =2a，即a2=2b2=2（a2﹣c2），即a2=2c2 ，
即有e= = ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為x2+2y2=2b2 ， 焦點坐標為F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）當AB，AC的斜率都存在時，設A（x0 ， y0），B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），
則直線AC的方程為y= （x﹣b），代入橢圓方程得
（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0，
可得y0y2=﹣ ，又λ2= = = ，
同理λ1= ，可得λ1+λ2=6；（2）若AC⊥x軸，則λ2=1，λ1= =5，這時λ1+λ2=6；
若AB⊥x軸，則λ1=1，λ2=5，這時也有λ1+λ2=6；
綜上所述，λ1+λ2是定值6．
【解析】（Ⅰ）當線段AF1的中點在y軸上時，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．運用余弦函數的定義可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|= ，再由橢圓的定義，結合離心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓方程為x2+2y2=2b2 ， 焦點坐標為F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）當AB，AC的斜率都存在時，設A（x0 ， y0），B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），求得直線AC的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由向量共線定理，可得λ1+λ2為定值6；若AC⊥x軸，若AB⊥x軸，計算即可得到所求定值．