Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E為AA′的中點，C′E⊥BE．
（1）求證：C′E⊥平面BCE；
（2）若AC=2，求三棱錐B′﹣ECB的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在矩形A′ACC′中，E為A′A中點且AA′=2AC，

∴EA=AC，EA′=A′C′，

∴∠AEC=∠A′EC=45°，

∴C′E⊥EC，

∵C′E⊥BE，CE∩BE=E，

∴C′E⊥平面BCE；

（2）解：∵B′C′∥BC，B′C′平面BCE，BC平面BCE，

∴B′C′∥平面BCE，

∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB，

∵C′E⊥平面BCE，

∴C′E⊥BC，

∵BC⊥CC′，C′E∩CC′=C′，

∴BC⊥平面ACC′A′′∴BC⊥CE，

∵AC=2，

∴BC=2，EC=EC′=2 ，

∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB= =

【解析】（1）證明C′E⊥EC，利用C′E⊥BE，CE∩BE=E，即可證明C′E⊥平面BCE；（2）利用等體積轉化求三棱錐B′﹣ECB的體積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．