Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，A＞0，φ∈（0，

π

2

））的部分圖象如圖所示，其中點P是圖象的一個最高點．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（-x）的單調增區間；
（3）求函數圖象的對稱中心和對稱軸；
（4）解不等式f（x）≥

3

；
（5）函數f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣變換得到？

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：綜合題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用最高點可求A，利用周期求出ω，（

π

12

，2）代入，求出φ，可得函數f（x）的解析式；
（2）令-2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，求函數f（-x）的單調增區間；
（3）利用正弦函數的對稱中心和對稱軸，求函數圖象的對稱中心和對稱軸；
（4）由f（x）≥

3

，可得2sin（2x+

π

3

）≥

3

，即可解不等式f（x）≥

3

；
（5）利用函數的圖象變換規律，可得結論．

解答： 解：（1）由題意，A=2，T=4（

π

12

+

π

6

）=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
（

π

12

，2）代入可得sin（

π

6

+φ）=1，φ∈（0，

π

2

），∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（2）f（-x）=-2sin（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，可得函數f（-x）的單調增區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7

12

π]，k∈Z；
（3）由2x+

π

3

=kπ，可得x=

kπ

2

-

π

6

，故函數圖象的對稱中心為（

kπ

2

-

π

6

，0），k∈Z；
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，可得x=

kπ

2

+

π

12

，故函數圖象的對稱軸為x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z；
（4）由f（x）≥

3

，可得2sin（2x+

π

3

）≥

3

，解得2kπ+

π

3

≤2x+

π

3

≤2kπ+

2π

3

∴不等式的解集為{x|kπ≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z}；
（5）函數f（x）的圖象可由y=sinx的圖象向左平移

π

3

個單位，再將橫坐標變為原來的一半，縱坐標變為原來的2倍．

點評：本題考查三角函數的圖象與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．