Question

已知函數f（x）=

1

3

x3+x²+ax．
（1）當a=-3時，求f（x）的極值；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）設f（x）有兩個極值點x₁，x₂，若過兩點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直線l與軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,壓軸題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）當a=-3時，化簡f（x）=

1

3

x3+x²-3x，從而求導f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1）；從而求極值；
（2）求導f′（x）=（x+1）²+a-1；從而討論a以確定導數的正負以確定函數的單調性；
（3）由題設知x₁，x₂是f′（x）=0的兩個根，從而可得a＜1，且

x

2 1

=-2x₁-a，

x

2 2

=-2x₂-a；從而可得f（

a

2(a-1)

）=

1

3

（

a

2(a-1)

）³+（

a

2(a-1)

）²+a

a

2(a-1)

=

a2

24(a-1)3

（12a²-17a+6）；從而解得．

解答： 解：（1）當a=-3時，f（x）=

1

3

x3+x²-3x，
則f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1）；
令f′（x）=0得，x=-3或x=1；

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	9	減	- 5 3	增

當x=-3時，f（x）的極大值為9，當x=1時，f（x）的極小值為-

5

3

．
（2）∵f′（x）=（x+1）²+a-1；
①當a≥1時，f′（x）≥0，f（x）是R上的增函數，
②當a＜1時，f′（x）=0有兩個根，x₁=-1-

1-a

，x₂=-1+

1-a

；
當x＜x₁，x＞x₂時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調增區間為
（-∞，-1-

1-a

），（-1+

1-a

，+∞）；
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調減區間為（-1-

1-a

，-1+

1-a

）；
（3）由題設知，x₁，x₂是f′（x）=0的兩個根，
∴a＜1，且

x

2 1

=-2x₁-a，

x

2 2

=-2x₂-a；
∴f（x₁）=

1

3

x₁³+x₁²+ax₁=

1

3

x₁（-2x₁-a）+x₁²+ax₁
=

1

3

x₁²+

2

3

ax₁=

2

3

（a-1）x₁-

a

3

，
同理，f（x₂）=

2

3

（a-1）x₂-

a

3

，
則直線l的解析式為y=

2

3

（a-1）x-

a

3

；
設直線l與x軸的交點為（x₀，0），
則0=

2

3

（a-1）x₀-

a

3

，
解得，x₀=

a

2(a-1)

；
代入f（x）=

1

3

x3+x²+ax得，
f（

a

2(a-1)

）=

1

3

（

a

2(a-1)

）³+（

a

2(a-1)

）²+a

a

2(a-1)

=

a2

24(a-1)3

（12a²-17a+6）；
∵（x₀，f（x₀））在x軸上，f（x₀）=

a2

24(a-1)3

（12a²-17a+6）=0，
解得，a=0或a=

2

3

或a=

3

4

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及分類討論的數學思想應用，屬于難題．