Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（θ+

π

12

）=

5

6

，θ∈（

π

3

，

2π

3

），求sin（2θ+

π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角與兩角和的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（θ+

π

12

）=

5

6

，可求得sin2θ=

2

3

，由于θ∈（

π

3

，

2π

3

），可得2θ∈（

2π

3

，

4π

3

），從而可求cos2θ=-

1-sin22θ

=-

5

3

． 故可得sin（2θ+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+1=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+1=

3

2

+sin（

π

6

-2x）=

3

2

-sin（2x-

π

6

）．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z，
（2）∵f（θ+

π

12

）=

5

6

，∴

3

2

-sin（2θ+

π

6

-

π

6

）=

3

2

-sin2θ=

5

6

，sin2θ=

2

3

．   
∵θ∈（

π

3

，

2π

3

），∴2θ∈（

2π

3

，

4π

3

），
∴cos2θ=-

1-sin22θ

=-

5

3

． 
∴sin（2θ+

π

3

）=sin2θcos

π

3

+cos2θsin

π

3

=

1

2

×

2

3

+（-

5

3

）×

3

2

=

2- 15

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式與兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．