Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 ，其離心率 ，點 為橢圓上的一個動點，△ 面積的最大值為 .
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若 是橢圓上不重合的四個點， 與 相交于點 ， 求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，當點 是橢圓的上、下頂點時，△ 的面積取最大值，

此時 所以 因為 所以 ， ,

所以橢圓方程為

（2）解：由（1）得橢圓方程為 ，則 的坐標為 ，

因為 ，所以 .

①當直線 與 中有一條直線斜率不存在時，易得 .

②當直線 斜率 存在且 時，則其方程為 ，設 ，

則點 、 的坐標是方程組 的兩組解，

所以

所以

所以 .

直線 的方程為 .

同理可得 ,

，

令 ，則 ，

因為 ，所以 ， ，

所以 ，

所以

【解析】(1)由題意可知當點P為橢圓的上下頂點時，三角形的面積最大再根據橢圓的離心率可得到關于a與c的方程解出方程即可求出其值，進而可得到橢圓的方程。(2)首先求出AC、BD中有一條直線不存在斜率時,當直線AC存在斜率且不為零時，由點斜式寫出直線的方程再聯立橢圓的方程消元得到關于x的一元二次方程，由韋達定理求出兩根之和與兩根之積代入到弦長公式求得的代數式，把k換為即可得到所以用k表示出結果的代數式，再由整體思想設出t=k2+1根據t的范圍，結合代數式的幾何意義得到取值范圍。