Question

【題目】如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸為，短半軸為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．

(Ⅰ)求面積關于變量的函數表達式，并寫出定義域；

(Ⅱ)求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（I）

，

其定義域為

（II）梯形面積的最大值為

【解析】試題分析：（1）建立平面直角坐標系，得橢圓標準方程，即滿足的方程：(y≥0)，由于，可解得y＝2(0<x<r)．從而得梯形面積，其中；（2）要求最大值，可先求的最大值，這可由導數的知識求得解．

試題解析：（1）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標系(如圖)，設點C的橫坐標為x.

點C的縱坐標y滿足方程(y≥0)，

解得y＝2(0<x<r)．

S＝(2x＋2r)2＝2(x＋r)·，

其定義域為{x|0<x<r}．

（2）記f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r，

則f ′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．

令f ′(x)＝0，則x＝r.因為當0<x<時，f ′(x)>0；

當<x<r時，f ′(x)<0，所以f(r)是f(x)的最大值．

因此，當x＝r時，S取得最大值，最大值為＝r2，即梯形面積S的最大值為r2.