Question

已知a₁、x、y、a₂成等差數列，b₁、x、y、b₂成等比數列，則

(a1+a2)2

b1b2

-2的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：首先根據等比中項和等差中項得出a₁+a₂=x+y和b₁b₂=xy，再由均值不等式即可得出結果．

解答： 解：∵a₁、x、y、a₂成等差數列，∴a₁+a₂=x+y，
∵b₁、x、y、b₂成等比數列，∴b₁b₂=xy，
則

(a1+a2)2

b1b2

-2=

(x+y)2

xy

-2=

x2+y2

xy

．
若xy＞0，則

x2+y2

xy

≥2；
若xy＜0，則

x2+y2

xy

≤-2．
故

(a1+a2)2

b1b2

-2的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案為（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：此題考查了等比數列的性質和等差數列的性質，以及均值不等式的運用，屬于基礎題．