Question

已知函數f（x）對任意實數x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=-2
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）為R上的減函數；
（3）求f（x）在區間[-3，3]上的值域．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的值域,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）取x=y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（0）=0，再取y=-x可判斷f（x）為奇函數；
（2）由單調性的定義證明函數的單調性；
（3）由（2）知f（x）在R上為減函數，故對任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），從而求f（3）及f（-3）即可求出值域．

解答： 解：（1）取x=y=0，則f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0．
取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立，
∴f（x）為奇函數．
（2）證明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
又f（x）為奇函數，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是R上的減函數．
（3）由（2）知f（x）在R上為減函數，
∴對任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
∵f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=-2×3=-6，
∴f（-3）=-f（3）=6，
故f（x）在[-3，3]上的值域為[-6，6]．

點評：本題考查了抽象函數的性質的判斷與證明，同時考查了函數的值域的求法，屬于中檔題．