Question

如圖，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點重合，它們的公共點A、B與坐標(biāo)原點O構(gòu)成等腰直角三角形，且焦點在直線AB上，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由對稱性可得，OA=OB，O為直角頂點，由x=

p

2

代入拋物線方程，令x=c，代入雙曲線方程，求得AB的長，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到．

解答： 解：由對稱性可得，OA=OB，O為直角頂點，
由x=

p

2

代入拋物線方程可得，y=±p，
則AB=2p，
又c=

p

2

，
令x=c，代入雙曲線方程則有y=±

b2

a

，
則有AB=

2b2

a

，
即有2ac=b²=c²-a²，e=

c

a

，
則有e²-2e-1=0，解得e=1+

2

（負(fù)值舍去）．
故答案為：1+

2

．

點評：本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，求交點，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．