Question

某公司為了變廢為寶，節約資源，新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目．經測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可以近似地表示為：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將給予補貼．
（Ⅰ）當x∈[200，300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？
（Ⅱ）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

考點：不等式的實際應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）先確定該項目獲利的函數，再利用配方法確定不會獲利，從而可求政府每月至少需要補貼的費用；
（Ⅱ）確定食品殘渣的每噸的平均處理成本函數，分別求出分段函數的最小值，即可求得結論．

解答： 解：（Ⅰ）當x∈[200，300）時，該項目獲利為S，則
S=200x-（

1

2

x²-200x+80000）=-

1

2

（x-400）²，
∴當x∈[200，300）時，S＜0，因此，該項目不會獲利
當x=300時，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要補貼5000元才能使該項目不虧損；

（Ⅱ）由題意可知，生活垃圾每噸的平均處理成本為：

y

x

=

1 3 x2-80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500)

．
當x∈[120，144）時，

y

x

=

1

3

（x-120）²+240
所以當x=120時，

y

x

取得最小值240；    
當x∈[144，500）時，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200
當且僅當

1

2

x=

80000

x

，即x=400時，

y

x

取得最小值300
因為200＜240，所以當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．

點評：知識點基本不等式在最值問題中的應用；函數模型的選擇與應用，考查函數模型的構建，考查函數的最值，考查利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是確定函數關系式．