【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為正方形，
底面，
，
為線段
的中點．
（1）若
為線段
上的動點，證明：平面
平面
；
（2）若為線段，
，
上的動點（不含
，
），
，三棱錐
的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，
.
【解析】
(1)利用
,可得
平面
,根據面面垂直的判定定理可證平面
平面;
(2) 由
底面
，得平面
平面．將問題轉化為點
到直線
的距離有無最大值即可解決.
（1）證明:因為
，
為線段
的中點，所以
,
因為底面，
平面，所以
,
又因為底面為正方形，所以
，
,
所以
平面
,
因為
平面，所以
,
因為
，所以平面,
因為平面
，所以平面平面.
（2）由底面，則平面平面,
所以點到平面
的距離（三棱錐
的高）等于點到直線的距離,
因此，當點在線段
，
上運動時，三棱錐的高小于或等于2,
當點在線段
上運動時,三棱錐的高為2,
因為
的面積為
,
所以當點在線段上，三棱錐的體積取得最大值,
最大值為
.
由于三棱錐
的體積等于三棱錐的體積,
所以三棱錐的體積存在最大值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在直角梯形
中，AB∥CD，
，且
．現以
為一邊向梯形外作正方形
，然后沿邊
將正方形翻折，使平面與平面垂直，如圖2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面DBE；
（Ⅱ）求點D到平面BEC的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創新活動，在
，
實驗地分別用甲、乙方法培訓該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在實驗地隨機抽取各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優質花苗．
（Ⅰ）求圖中
的值；
（Ⅱ）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在，兩塊試驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優質花苗數的分布列和數學期望；
（Ⅲ）填寫下面的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為優質花苗與培育方法有關．
優質花苗 | 非優質花苗 | 合計 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合計 |
附：下面的臨界值表僅供參考．
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | <>0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，其中
．）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某地區某種昆蟲產卵數和溫度有關.現收集了一只該品種昆蟲的產卵數
（個）和溫度
（
）的7組觀測數據，其散點圖如所示：
根據散點圖，結合函數知識，可以發現產卵數和溫度可用方程
來擬合，令
，結合樣本數據可知
與溫度可用線性回歸方程來擬合．根據收集到的數據，計算得到如下值：
|
|
|
|
|
|
27 | 74 |
| 182 |
|
|
表中
，
．
（1）求和溫度的回歸方程（回歸系數結果精確到
）；
（2）求產卵數關于溫度的回歸方程；若該地區一段時間內的氣溫在
之間（包括
與
），估計該品種一只昆蟲的產卵數的范圍.（參考數據：
，
，
，
，
．）
附：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如果函數y＝f(x)的導函數的圖象如圖所示，給出下列判斷：
①函數y＝f(x)在區間
內單調遞增；
②函數y＝f(x)在區間
內單調遞減；
③函數y＝f(x)在區間(4,5)內單調遞增；
④當x＝2時，函數y＝f(x)有極小值；
⑤當x＝
時，函數y＝f(x)有極大值．
則上述判斷中正確的是( )
A. ①② B. ②③
C. ③④⑤ D. ③
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