Question

【題目】如圖，正方形的邊長為2，，分別為的中點，與交于點，將沿折起到的位置，使平面平面．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判斷線段上是否存在點，使平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在點，使平面，此時的值為.

【解析】

（Ⅰ）先證明平面，又因為平面，所以平面平面；（Ⅱ）因為兩兩垂直，所以，以為原點，建立空間直角坐標系，再利用向量法求二面角的余弦值；（Ⅲ）設（），利用向量法求得.所以存在點，使平面，此時的值為.

解：（Ⅰ）因為正方形中，，分別為的中點，

所以，.

所以.

所以.

又因為平面，

平面平面，

平面平面，

所以平面.

又因為平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）因為兩兩垂直，所以，以為原點，建立空間直角坐標系，

如圖，

則，，

所以，，

由（Ⅰ）知，是平面的一個法向量.

設平面的法向量為，

則，即，

令，則，.所以.

.

由圖可知所求二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）設（），

，

若使平面，則.

即，解得.

所以存在點，使平面，此時的值為.