Question

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；
(2)證明：線段PC的中點為球O的球心

Answer 1

 (1)證明：∵AC＝BC，M為AB的中點，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴PA⊥CM.
∵AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，
∴CM⊥平面PAB.
∵CM?平面PCM，
∴平面PAB⊥平面PCM.
(2)證明：由(1)知CM⊥平面PAB.
∵PM?平面PAB，
∴CM⊥PM.
∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC.如圖，，取PC的中點N，連結MN、AN.在Rt△PAC中，點N為斜邊PC的中點，
∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，點N為斜邊PC的中點，
∴MN＝PN＝NC.
∴PN＝NC＝AN＝MN.
∴點N是球O的球心，即線段PC的中點為球O的球心．

略