Question

已知函數f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x（其中a∈R）．
（Ⅰ）若x=0為f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，解不等式f(x)＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，從而可得a=0；
（Ⅱ）當a=0時，不等式f(x)＞(x-1)(

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x2+x+1)可化為（x-1）e^x＞（x-1）（

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2

x²+x+1），即（x-1）（e^x-（

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x²+x+1））＞0，令g（x）=e^x-（

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2

x²+x+1），h（x）=g′（x）=e^x-x-1，從而由導數解不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x．
∴f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，
∵x=0為f（x）的極值點，
∴f′（0）=a•e⁰=0，
∴a=0；
經檢驗成立；

（Ⅱ）當a=0時，不等式f(x)＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)可化為
（x-1）e^x＞（x-1）（

1

2

x²+x+1），
即（x-1）（e^x-（

1

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x²+x+1））＞0，
令g（x）=e^x-（

1

2

x²+x+1），h（x）=g′（x）=e^x-x-1，
h′（x）=e^x-1；
當x＞0時，h′（x）=e^x-1＞0，當x＜0時，h′（x）=e^x-1＜0；
故h（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
所以h（x）＞h（0）=0；
故g（x）在R上單調遞增，且g（0）=0；
故e^x-（

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2

x²+x+1）＞0，x＞0；
e^x-（

1

2

x²+x+1）＜0，x＜0；
所以原不等式的解集為{x|x＜0或x＞1}．

點評：本題考查了導數的綜合應用及不等式的解法的應用，屬于中檔題．