Question

【題目】設,在平面直角坐標系中，已知向量，向量，動點的軌跡為.

（1）求軌跡的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀；

（2）已知,證明：存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡恒有兩個交點，且為坐標原點），并求該圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）方程，當時,該方程表示兩條直線；當時,該方程表示圓；當時, 且時,該方程表示橢圓；當時,該方程表示雙曲線；（2）．

【解析】

試題分析：

（1）要求軌跡方程，本小題用直接法求解，即把已知條件用數學式（用坐標）表示出來即可；

（2）本小題是證明題，涉及到圓與切線，直線與橢圓相交，因此設圓方程為，圓的切線方程為（斜率存在時）,切線與橢圓的交點為,關鍵是求出,由直線與圓相切可得,即，已知條件為，由直線方程與橢圓方程聯立方程組，代入消元后可得，代入剛才的，可得關系，由此關系應該可求得，這時還需驗證斜率不存在的圓的切線也滿足題意．

試題解析：（1）,即,故,即.

當時,該方程表示兩條直線；當時,該方程表示圓；當時,且時,該方程表示橢圓；

當時,該方程表示雙曲線.

（2）當時,軌跡的方程為,設圓的方程為,當切線斜率存在時,可設圓的任一切線方程為,,所以,即.①

因為,即,整理得

.②

由方程組,消去得.③

由根與系數的關系得,

代入②式并整理得,即,結合①式有,當切線斜率不存在時,也滿足題意,

故所求圓的方程為.