Question

設函數f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數，當x∈[-1，0）時，f（x）=x³-ax（a是實數）．
（1）當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在（0，1]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,函數解析式的求解及常用方法,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）直接利用函數的奇偶性求解當x∈（0，1]時，f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在（0，1]上是增函數，利用函數的導數，通過導數大于0，即可求實數a的取值范圍；
（3）通過實數a≥3，利用函數的單調性，求出最值判斷是否滿足題意；0＜a＜3時，求出函數的導數，判斷函數使得當x∈（0，1]時，的單調性求出最大值為1，求出a的值；當a≤0時，判斷f（x）無最大值．得到結論．

解答： 解：（1）設x∈（0，1]則-x∈[-1，0）-----------------------（1分）
所以f（-x）=（-x）³-a（-x）=-x³+ax-----------（2分）
因為f（x）是偶函數，所以f（-x）=f（x）-----------------（3分）
所以f（x）=-x³+ax，x∈（0，1]-------------------（4分）
（2）當x∈（0，1]時，f′（x）=-3x²+a，3x²∈（0，3]．
所以-3x²∈[-3，0）
因為f（x）在（0，1]上是增函數，所以-3x²+a≥0-------------（6分）
所以a的取值范圍是[3，+∞）---------------------------（7分）
（3）（i）當a≥3時，由（2）知f（x）在區間（0，1]上是增函數
所以f_max（x）=f（1）=a-1，可得a=2不合題意，舍去
（ii）當0＜a＜3時，在區間（0，1]上，f′（x）=-3x²+a．
令f′（x）=0，x=

a 3

-----------------------（8分）
由下表

x	(0， a 3 )	a 3	( a 3 ，1)
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	極大值	減

f（x）在x=

a 3

處取得最大值-----------------（9分）
f_max（x）=(-

a 3

)3-a（-

a 3

）=1-----------（10分）
所以a=

3	27 4

=

3

2

3	2

-----------------------（11分）
注意到0＜

3

2

3	2

＜3，所以0＜

a

3

＜3，

a 3

∈(0，1)符合題意-------------（12分）
（iii）當a≤0時，在區間（0，1]上，f′（x）=-3x²+a≤0，
所以f（x）為減函數，無最大值--------------（13分）
綜上所述，存在a=

3

2

3	2

使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1、

點評：本題考查函數的導數的應用，分類討論思想的應用，函數的奇偶性的判斷與應用，考查轉化思想以及計算能力．