Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，并且a₂=2，S₅=15，數列{b_n}滿足：b₁=

1

2

，b_n+1=

n+1

2n

bn(n∈N+)，記數列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求數列{a_n}的前n項和公式S_n；
（2）求數列{b_n}的前n項和公式T_n；
（3）記集合M={n|

2Sn(2-Tn)

n+2

≥λ，n∈N+}，若M的子集個數為16，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的通項公式及前n項和公式即可得出；
（2）由題意得

bn+1

bn

=

1

2

•

n+1

n

，利用“疊乘法”可得b_n，再利用“錯位相減法”即可得出T_n；
（3）由上面可得

2Sn(2-Tn)

n+2

=

n2+n

2n

，令f(n)=

n2+n

2n

，研究數列f(n)=

n2+n

2n

的單調性，可得n≥3時，f（n）單調遞減．由于集合M的子集個數為16，可得M中的元素個數為4，不等式

n2+n

2n

≥λ，n∈N⁺解的個數為4，解出即可．

解答： 解：（1）設數列{a_n}的公差為d，
由題意得

a1+d=2 5a1+10d=15

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=n，
∴Sn=

n2+n

2

．
（2）由題意得

bn+1

bn

=

1

2

•

n+1

n

，
疊乘得bn=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

•…•

b2

b1

•b1=(

1

2

)n(

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

)=

n

2n

．
由題意得Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
②-①得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1--

n+2

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

．
（3）由上面可得

2Sn(2-Tn)

n+2

=

n2+n

2n

，令f(n)=

n2+n

2n

，
則f（1）=1，f(2)=

3

2

，f(3)=

3

2

，f(4)=

5

4

，f(5)=

15

16

．
下面研究數列f(n)=

n2+n

2n

的單調性，
∵f(n+1)-f(n)=

(n+1)2+n+1

2n+1

-

n2+n

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，
∴n≥3時，f（n+1）-f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）單調遞減．
∵集合M的子集個數為16，
∴M中的元素個數為4，
∴不等式

n2+n

2n

≥λ，n∈N⁺解的個數為4，
∴

15

16

＜λ≤1．

點評：本題綜合考查了等差數列與等比數列的通項公式及前n項和公式、“疊乘法”、“錯位相減法”、數列的單調性、集合的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．