Question

已知雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的左右頂點分別為A₁A₂，點P是雙曲線上任一點，Q是P關(guān)于x軸的對稱點，求直線A₁P與A₂Q交點M的軌跡E的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點p（x₀，y₀），為A₁（-3，0），A₂（3，0），直線A₁P方程是y=

y0

x+3

（x+3），①；線A₂Q的方程是y=

-y0

x0-3

（x-3），②；

x 2 0

9

-

y 2 0

16

=1，③
3個方程聯(lián)合化簡即可得出直線A₁P與A₂Q交點M的軌跡E的方程．

解答： 解：雙曲線的左右頂點分別為A₁（-3，0），A₂（3，0），點p（x₀，y₀），
設(shè)M關(guān)于x軸對稱點為Q（x₀，-y₀）
直線A₁P方程是y=

y0

x+3

（x+3），①
線A₂Q的方程是y=

-y0

x0-3

（x-3），②

x 2 0

9

-

y 2 0

16

=1，③
①×②得；y²=

-y02

x 2 0 -9

（x²-9）④
即x

2 0

=9（

y02

16

+1）⑤
把⑤代入③方程化簡得交點P的軌跡E的方程：

x2

9

+

y2

16

=1，（x≠0，y≠0）

點評：本題綜合考察了直線，雙曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，聯(lián)合化簡得出軌跡方程，運算仔細．