Question

【題目】已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，4）

(1)它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，求直線(xiàn)l的方程.

(2)若直線(xiàn)l與軸，軸的正半軸分別交于點(diǎn)，求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1)直線(xiàn)l的方程為：或；(2)24.

【解析】

（1）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，符合題意，求出斜率即可得出；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由于它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為截距式，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可；

（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為截距式，由直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，4）可得方程，利用基本不等式即可得出ab的最小值，進(jìn)而得到三角形AOB的面積的最小值．

（1）①當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，符合題意，斜率，

直線(xiàn)方程為，即；

②當(dāng)直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，∵它在y軸上的截距是在x軸上截距的2倍，

∴可設(shè)直線(xiàn)l的方程為：．

∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，4），，解得a=5．

∴直線(xiàn)l的方程為：，即．

綜上所述，所求直線(xiàn)l方程為或．

（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，

由直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，4）得：．

∴，化為，

當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=8時(shí)取等號(hào)．

∴的面積，

其最小值為24．