Question

已知橢圓C的兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C的兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率e=

1

2

，知c=1，a=2，b=

4-1

=

3

，由此能導出橢圓C的方程．
（2）將y=kx+m（k≠0）代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，知△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，由此入手，能導出直線l過定點，且定點的坐標為(

2

7

，0)．

解答：解：（1）∵橢圓C的兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率e=

1

2

，
∴c=1，a=2，b=

4-1

=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）將y=kx+m（k≠0）代入

x2

4

+

y2

3

=1，消去y，得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0．①…（6分）
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

…（8分）
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點為A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0…（9分）
即  (1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0
也即  (1+k2)•

4m2-12

3+4k2

+(km-2)•

-8km

3+4k2

+m2+4=0
整理得：7m²+16mk+4k²=0
解得：m=-2k或 m=-

2k

7

，均滿足①…（11分）
當m=-2k時，直線l的方程為 y=kx-2k，過定點（2，0），舍去
當m=-

2k

7

時，直線l的方程為 y=k(x-

2

7

)，過定點(

2

7

，0)，
故，直線l過定點，且定點的坐標為(

2

7

，0)．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，證明直線過定點，并求出定點坐標，具體涉及到橢圓的基本性質、直線與橢圓的位置關系、韋達定理等基礎知識，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．