Question

【題目】（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中，曲線過點，且在點處的切線方程為．

（I）求的值；

（II）證明：當(dāng)時，；

（III）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I），；（II）見解析；（III）.

【解析】

試題分析：（I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由曲線過點可得，由在點處的切線方程為可得，列出方程組，解之即可；（II）令，求，得用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，證即可；（III）設(shè)，由解之即可.

試題解析： （I），∴，

.

∴，.

（II） .

設(shè)，，，

，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴在上單調(diào)遞增，∴．

∴．

（III）設(shè)，，

由（2）中知，∴，

∴.

①當(dāng)，即時，，∴在單調(diào)遞增，∴成立.

②當(dāng)，即時，.

，令，得.

當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，∴，不成立.

綜上，.