Question

過點(2-

1

n

，0)(n∈N*)且方向向量為（2，1）的直線交雙曲線x²-y²=4于A_n，B_n兩點，記原點為O，△OA_nB_n的面積為S_n，則

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的極限

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：依題意，可知過點（2-

1

n

，0）的直線的斜率為

1

2

，n→+∞時，點（2-

1

n

，0）→（2，0），原問題轉(zhuǎn)化為直線x-2y-2=0與雙曲線x²-y²=4的兩個交點A、B與原點O所組成的三角形的面積，利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用弦長公式、三角形的面積公式即可求得答案．

解答： 解：∵過點(2-

1

n

，0)(n∈N*)且方向向量為（2，1），即其斜率k=

1

2

，

lim

n→∞

（2-

1

n

）=2，
∴當(dāng)n→+∞時，點（2-

1

n

，0）→（2，0），
∴n→+∞時，△OA_nB_n的面積就是直線y-0=

1

2

（x-2），即x-2y-2=0與雙曲線x²-y²=4的兩個交點A、B與原點O所組成的三角形的面積，設(shè)為S，
由

x-2y-2=0 x2-y2=4

消去x得：3y²+8y=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂，=-

8

3

，y₁•y₂，=0，x₁+x₂，=2y₁+2y₂，+4=-

4

3

，
∴|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( 1 1 2 )2

•

(y2+y1)2-4y1y2

=

5

•

8

3

=

8 5

3

．
又O點到直線x-2y-2=0的距離d=

|-2|

12+(-2)2

=

2

5

，
∴S=

lim

n→∞

Sn=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

8 5

3

×

2

5

=

8

3

．
為S_n，
故答案為：

8

3

．

點評：本題考查數(shù)列的極限，理解題意，求得

lim

n→∞

（2-

1

n

）=2，原問題轉(zhuǎn)化為直線x-2y-2=0與雙曲線x²-y²=4的兩個交點A、B與原點O所組成的三角形的面積是關(guān)鍵，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力．