Question

在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點P（-2，-4）的直線l的參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數），l與C分別交于M，N．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）利用極坐標與普通方程的關系式，可得C為拋物線方程，消去參數t，可得直線l的方程；
（2）由|PM|=|t₁|，|MN|=|t₁-t₂|，|PN|=|t₂|成等比數列，可轉化為關于a的等量關系求解．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C：ρsin²θ=2acosθ，可得ρ²sin²θ=2aρcosθ，它的直角坐標方程為y²=2ax（a＞0）；

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去t，可得x-y-2=0，
直線l的普通方程為x-y-2=0．                      4分
（Ⅱ）將直線l的參數方程與C的直角坐標方程聯立，得
t²-2（4+a）

2

t+8（4+a）=0  （*）
△=8a（4+a）＞0．
設點M，N分別對應參數t₁，t₂，恰為上述方程的根．
則|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|．
由題設得（t₁-t₂）²=|t₁t₂|，即（t₁+t₂）²-4t₁t₂=|t₁t₂|．
由（*）得t₁+t₂=2（4+a）

2

，t₁t₂=8（4+a）＞0，則有
（4+a）²-5（4+a）=0，得a=1，或a=-4．
因為a＞0，所以a=1．                            10分

點評：本題考查參數方程與極坐標的應用，基本知識的考查．