Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球半徑為4，則△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面積之和的最大值為

 

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Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：設長方體長，寬，高分別為a，b，c．由已知可得長方體體對角線長為8，即a²+b²+c²=8，由柯西不等式公式有（a²+b²+c²）（1+1+1）≥（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，可得ab+bc+ac≤8，即可求出△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面積之和的最大值．

解答： 解：設長方體長，寬，高分別為a，b，c．由已知可得長方體體對角線長為8，即a²+b²+c²=8，
由柯西不等式公式有（a²+b²+c²）（1+1+1）≥（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac，即ab+bc+ac≤8，
又△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面積之和為S=

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（ab+bc+ac）≤4，
所以△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面積之和的最大值為4．

點評：本題考查求△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面積之和的最大值，考查柯西不等式公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．