Question

偶函數f（x）滿足f（1）=0，且當x∈（0，+∞），f （x）是減函數，求不等式f（log_ax）＜0解集．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：本題可以先研究函數f（x）特征，對稱性，過定點，單調性，得到f（x）＜0的解，再解不等式f（log_ax）＜0，得到log_ax的范圍，對a進行分類討論，得到本題結論．

解答： 解：∵函數f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），函數f（x）的圖象關于y軸對稱．
∵f（x）滿足f（1）=0，
∴函數f（x）的圖象過點（1，0），（-1，0）．
∵當x∈（0，+∞），f （x）是減函數，
∴當x∈（-∞，0），f （x）是增函數．
∴當x＜-1時，f（x）＜0，
當-1＜x＜0時，f（x）＞0，
當0＜x＜1時，f（x）＞0，
當x＞1時，f（x）＜0，
∵不等式f（log_ax）＜0，
∴log_ax＜-1或log_ax＞1，
當a＞1時，0＜x＜

1

a

或x＞a，
當0＜a＜1時，0＜x＜a或x＞

1

a

，
∴當a＞1時，不等式的解集為：{x|0＜x＜

1

a

或x＞a}，
當0＜a＜1時，不等式的解集為：{x|0＜x＜a或x＞

1

a

}．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性，還考查了分類討論的數學思想，本題難度適中，屬于中檔題．