Question

已知f（x）=x+

a2

x

（a＞0）．
（1）求證：f（x）在（0，a]上是減函數，在（a，+∞）上是增函數；
（2）求函數g（x）=4x+

9

x

在[1，3]上最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數的單調性及單調區間,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）運用單調性的定義證明，注意取值、作差和變形、定符號、下結論幾個步驟；
（2）運用（1）的結論，即可得到g（

3

2

）取得最小，比較端點的函數值，可得最大值．

解答： （1）證明：設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

a2

x1

-x₂-

a2

x2

=（x₁-x₂）+a²（

1

x1

-

1

x2

）=（x₁-x₂）•

x1x2-a2

x1x2

，
則當0＜x₁＜x₂≤a時，x₁-x₂＜0，x₁x₂＜a²，即有x₁x₂-a²＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x）在（0，a]上是減函數；
當a＜x₁＜x₂時，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞a²，即有x₁x₂-a²＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x）在（a，+∞）上是增函數；
（2）由（1）得，函數g（x）=4x+

9

x

在（0，

3

2

]上是減函數，
在（

3

2

，+∞）上為增函數，
即有g（x）在[1，

3

2

]上是減函數，在（

3

2

，3]上是增函數，
則g（

3

2

）取得最小，且為12，由于g（1）=13，g（3）=15，
則最大值為15．
即有函數g（x）=4x+

9

x

在[1，3]上最大值為15，最小值為12．

點評：本題考查函數的單調性的證明和運用：求最值，考查運算和判斷能力，屬于基礎題．