Question

已知函數f（x）=asinxcosx+

1

2

cos2x（a＞0）的最大值為1
（1）求a的值和函數周期；
（2）若f（

a

2

）=

4

5

（α∈（0，

π

3

）），求cosα的值．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用asinα+bcosα的最大值為

a2+b2

求a；
（2）由α=α+

π

6

-

π

6

，求值．

解答： 解：（1）函數f（x）=asinxcosx+

1

2

cos2x
=

1

2

asin2x+

1

2

cos2x=

1

2

a2+1

sin（2x+θ）（a＞0），
因為它的最大值為1，所以

a2+1

=2，解得a=

3

，
所以f（x）=sin（2x+

π

6

），其周期為π；
（2）由（1）得f（

a

2

）=

4

5

（α∈（0，

π

3

）），
即sin（α+

π

6

）=

4

5

，
所以（α+

π

6

）∈（

π

6

，

π

2

），cos（α+

π

6

）=

3

5

，
所以cosα=cos（α+

π

6

-

π

6

）=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．

點評：本題考查了三角函數的化簡求值，對角 等價變換是關鍵，注意角度的范圍以及三角函數的符號．