Question

已知在數列{a_n}中，a₁=-1，a₂=2，a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）（n≥2，n∈N₊）．
（1）求證：數列{a_n-a_n-1}是等差數列；
（2）若a_n≥100，求正整數n的最小值．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的函數特性,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）轉化已知條件為：（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，即可判斷數列{a_n-a_n-1}是等差數列．
（2）利用累加法求出數列的通項公式，結合不等式即可求出正整數n的最小值．

解答： 解：（1）因為a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）可化為（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
所以數列{a_n-a_n-1}是一個首項為a₂-a₁=3，公差為2的等差數列.4分
（2）由（1）知a_n-a_n-1=3+2（n-2）=2n-1，
所以（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）=a_n-a₁=（2n-1）+（2n-3）+…+3，
所以a_n=-1+3+…+（2n-1）=-2+[1+3+…+（2n-1）]
=-2+

n[1+(2n-1)]

2

=n²-2（n≥2，n∈N₊）．
因為1²-2=-1=a₁，所以a₁也適合a_n=n²-2，所以數列{a_n}的通項公式為a_n=n²-2．
令n²-2≥100，解得n≥11，故n的最小值是11.12分．

點評：本題考查遞推關系式的應用，等差數列的判斷，數列與不等式相結合，考查分析問題解決問題的能力．