Question

如圖，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=DA，E，F分別是AB與PD的中點．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求證：AF∥平面PEC；
（3）在線段BC上是否存在一點M，使AF⊥平面PDM？
若存在，指出點M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先構造線面垂直，然后利用線面垂直的定義，可得線線垂直．
（2）要證線面平行先證線線平行：取PC的中點K，連接FK、EK，則四邊形AEKF是平行四邊形，得到AF∥EK，然后利用線面平行的判定定理即得AF∥平面PEC．
（3）由于菱形ABCD中，∠DAB=60°，所以△BCD為正三角形，取CB的中點M，則DM⊥BC，然后利用底面中的平行關系，可得線線垂直，從而得到線面垂直．

解答：證明：（1）連接AC，則AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD又AC與PA相交于A
∴BD⊥平面PAC∴PC⊥BD（4分）
（2）取PC的中點K，連接FK、EK，
則四邊形AEKF是平行四邊形．
∴AF∥EK，又EK?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．（8分）
（3）當M是BC的中點時，可使AF⊥平面PDM，證明如下：（9分）
∵PA=DA，F是PD的中點∴AF⊥PD（10分）
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°∴正△BCD中DM⊥BC
又AD∥BC∴DM⊥AD（12分）
∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥DM∴DM⊥平面PAD
∴DM⊥AF又PD∩DM=D∴AF⊥平面PDM（14分）

點評：本題考查查了線面平行，線面垂直的判定和性質，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，是個難題．