Question

【題目】某企業生產一種機器的固定成本為0.5萬元，但每生產1百臺時，又需可變成本（即另增加投入）0.25萬元．市場對此商品的年需求量為5百臺，銷售的收入（單位：萬元）函數為：R（x）=5x﹣ x2（0≤x≤5），其中x是產品生產的數量（單位：百臺）．
（1）將利潤表示為產量的函數；
（2）年產量是多少時，企業所得利潤最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，得：

利潤函數G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5）；

（2）利潤函數G（x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），

當x=4.75時，G（x）有最大值；

所以，當年產量為475臺時，工廠所得利潤最大．

【解析】由題中提供的式子得出利潤函數G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ 1 2 x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ 1 2 x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5），根據二次函數的最值，當x取對稱軸時開口向下的有最大值。