Question

已知：f（x）=2acos²x+

3

asin2x+a²（a∈R，a≠0為常數）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，f（x）的最大值大于10，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為2asin（2x+

π

6

）+a²+a，由此求得函數的最小正周期．
（2）根據x的范圍求出sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，當a＞0時，由最大值大于10，求出a的范圍，當a＜0時，同理由最大值大于10，求出a的范圍，再把a的范圍取并集，即得所求．

解答：解：（1）f（x）=a（1+cos2x）+

3

asin2x+a² =2a（sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

）+a²+a=2asin（2x+

π

6

）+a²+a，…（3分）
所以函數的最小正周期為T=

2π

2

=π．…（4分）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．…（7分）
當a＞0時，當sin(2x+

π

6

)=1時，函數的最大值為a²+3a＞10，解得：a＞2（a＜-5舍去）．…（9分）
當a＜0時，當sin(2x+

π

6

)=-

1

2

時，函數的最大值為a²＞10，解得：a＜-

10

（a＞

10

舍去）． …（11分）
綜上所述，a 的范圍是：a＜-

10

或a＞2，即（-∞，-

10

）∪（2，+∞）．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，三角函數的最值及其周期性，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．