Question

已知函數(shù)f（x）=2^x，若對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c有f（a+b）=f（a）+f（b），f（a+b+c）=f（a）+f（b）+3f（c），則實(shí)數(shù)c的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得，2^a+b=2^a+2^b；2^a+b+c=2^a+2^b+3•2^c，利用換元法令2^a=M＞0，2^b=N＞0，從而求得MN≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)M=N=2時(shí)，等號(hào)成立）；再化簡(jiǎn)2^c=

M+N

MN-3

=

MN

MN-3

=

1

1- 3 MN

≤4，從而求C．

解答： 解：由題意得，
2^a+b=2^a+2^b；
2^a+b+c=2^a+2^b+3•2^c，
令2^a=M＞0，2^b=N＞0，
則2^a+b=2^a+2^b可化為
MN=M+N≥2

MN

，
MN≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)M=N=2時(shí)，等號(hào)成立）；
2^a+b+c=2^a+2^b+3•2^c可化為
MN2^c=M+N+3•2^c，
則2^c=

M+N

MN-3

=

MN

MN-3

=

1

1- 3 MN

≤4；
（當(dāng)且僅當(dāng)M=N=2時(shí)，等號(hào)成立）
故實(shí)數(shù)c的最大值為2；
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的應(yīng)用及換元法的應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．