Question

三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側棱長為3，一條側棱與底面相鄰兩邊都成60°角，求此棱柱的側面積與體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：過A₁作A₁O⊥底面ABC交底面于O，過A₁作A₁E⊥AB交AB于E，過A₁作A₁F⊥AC交AC于F，連結EO、FO，由三垂線定理得EO⊥AB，FO⊥AC．由此能求出此棱柱的側面積與體積．

解答： 解：如圖，過A₁作A₁O⊥底面ABC交底面于O，
過A₁作A₁E⊥AB交AB于E，過A₁作A₁F⊥AC交AC于F，
連結EO、FO，由三垂線定理得EO⊥AB，FO⊥AC．?
∵AA₁和AB與AC都成60°角，?
∴△A₁AE≌△A₁AF．∴A₁E=A₁F．?
∵A₁O⊥底面ABC，∴EO=FO．?
∴點O在∠BAC的角平分線上．?
延長AO交BC于點D，?
∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD．∴BC⊥AA₁．?
∵AA₁∥BB₁，∴側面BB₁C₁C是矩形．?
∴三棱柱的側面積為?
S=2×

1

2

×3×4×sin60°+3×4=12+6

3

．?
∵AA₁=3，AA₁和AB與AC都成60°角，
∴AE=

3

2

．?
∵∠BAO=30°，∴AO=

3

，A₁O=

6

．?
∴三棱柱的體積為V=

1

3

×

3

4

×16×

6

=4

2

．

點評：本題考查棱柱的側面積與體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．