Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和{a_n}滿足：4S_n=a_n²+2a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=

16(n+1)

(n+2)2 a 2 n

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．證明：對(duì)于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得2（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n），從而a_n+1-a_n=2，又4S₁=a12+2a1，解得a₁=2，由此能求出a_n=2n．
（Ⅱ）由b_n=

16(n+1)

(n+2)2 a 2 n

=

16(n+1)

4n2(n+2)2

=

4(n+1)

n2(n+2)2

=

1

n2

-

1

(n+2)2

，利用裂項(xiàng)求和法能證明對(duì)于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．

解答： （Ⅰ）解：∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和{a_n}滿足：4S_n=a_n²+2a_n，①
∴4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1，②
②-①，得：4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n，
2（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n），
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
n=1時(shí)，4S₁=a12+2a1，解得a₁=2，
∴a_n=2n．
（Ⅱ）證明：∵b_n=

16(n+1)

(n+2)2 a 2 n

=

16(n+1)

4n2(n+2)2

=

4(n+1)

n2(n+2)2

=

1

n2

-

1

(n+2)2

，
∴T_n=1-

1

9

+

1

4

-

1

16

+

1

9

-

1

25

+…+

1

n2

-

1

(n+2)2

=1+

1

4

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

=

5

4

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

＜

5

4

．
∴對(duì)于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．