Question

某企業生產一種產品時，固定成本為5000元，而每生產100臺產品時直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數為R(x)=5x－x²(萬元)(0≤x≤5),其中x是產品售出的數量(單位: 百臺)
(1)把利潤表示為年產量的函數；
(2)年產量多少時，企業所得的利潤最大？
(3)年產量多少時，企業才不虧本？

Answer 1

(1) y=’
(2)當生產475臺時，利潤最大. (3) 企業年產量在10臺到4800臺之間時，企業不虧本.

(1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)?之差，由題意，當x≤5時，產品能全部售出，當x>5時，只能銷售500臺，所以
y=
(2）在0≤x≤5時，y=－x²+4. 75x－0 5,當x=－=4. 75(百臺）時，y_max=10.78125(萬元），當x>5(百臺）時，y＜12－0. 25×5=10. 75(萬元），
所以當生產475臺時，利潤最大.
(3）要使企業不虧本，即要求
解得5≥x≥4.75－≈0. 1(百臺）或5＜x＜48(百臺）時，即企業年產量在10臺到4800臺之間時，企業不虧本.