Question

已知x＞0，y＞0，x+y=1，n∈N^*，求證：x²ⁿ+y²ⁿ≥

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22n-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：構(gòu)造f（x）=x²ⁿ+（1-x）²ⁿ-

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22n-1

，利用導(dǎo)數(shù)法可求得f（x）_min=f（

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）=0，從而可得f（x）≥0，即所證的不等式成立．

解答： 證明：因?yàn)閤＞0，y＞0，x+y=1，n∈N^*，
所以，y=1-x∈（0，1），同理知，x∈（0，1）．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²ⁿ+（1-x）²ⁿ-

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22n-1

，下面只需證明f（x）≥0．
則f′（x）=2n[x^2n-1-（1-x）^2n-1]，
令f′（x）=0，則x^2n-1=（1-x）^2n-1，解得x=

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2

，
當(dāng)1＞x＞

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2

時(shí)，x^2n-1＞（1-x）^2n-1，故f′（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜

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2

時(shí)，x^2n-1＜（1-x）^2n-1，故f′（x）＜0；
所以x=

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為f（x）=0的唯一極小值點(diǎn)，
所以f（x）≥f（x）_min=f（

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）=(

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)2n+(

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2

)2n-

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22n-1

=(

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2

)2n-1-(

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)2n-1=0，
所以，x²ⁿ+y²ⁿ≥

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22n-1

，即待證式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²ⁿ+（1-x）²ⁿ-

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22n-1

，利用導(dǎo)數(shù)法可求得f（x）_min=f（

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）=0是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查創(chuàng)新思維與推理論證能力，屬于難題．