Question

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間[a，b]⊆D，使函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數．
（1）求閉函數y=x²（x∈[0，+∞））符合條件②的區間[a，b]；
（2）若y=k+

x

（k＜0）是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）根據閉函數的定義知，對于閉函數y=x²，解出

y=x2 y=x

中的x值即得區間[a，b]；
（2）根據閉函數的定義，先通過求導判斷該函數的單調性，而要滿足條件②，只需方程x=k+

x

有兩個不同實數根，將該方程變成一元二次方程，根據判別式△及韋達定理即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（1）根據閉函數的定義，解

y=x2 y=x

，x∈[0，+∞），得：x=0，或1；
∴該閉函數符合條件②的區間[a，b]=[0，1]；
（2）y′=

1

2 x

＞0；
∴函數y=k+

x

在[0，+∞）上是增函數，符合條件①；
由

y=x y=k+ x

得，x²-（2k+1）x+k²=0；
要滿足條件②，該方程在[0，+∞）上需有兩個不同的實數根；
∴

(2k+1)2-4k2＞0 2k+1＞0 k2≥0

，解得k＞-

1

4

，又k＜0；
∴實數k的取值范圍為（-

1

4

，0）．

點評：考查對閉函數定義的理解，根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，一元二次方程有兩個不同實根時的△的取值情況，以及韋達定理．