Question

已知點(diǎn)P是圓C：x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P到直線x+y-4=0的距離的最小值；
（2）若直線l與圓C相切，且l與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC的面積最小時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由圓的性質(zhì)可得：P到直線l：x+y-4=0的距離的最小值是圓心到直線l的距離減去半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得答案．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，根據(jù)題意可得：k＜0，b＞0，又因?yàn)閘與圓C相切，得到b關(guān)于k的一個(gè)關(guān)系式，再用b與k表示出三角形的面積可得：S_△ABC=

1

2

•(-

b

k

)•b=

-(4k2+4)

2k

=2（-k+

1

-k

）≥4，然后利用基本不等式求出面積的最大值與k、b的值即可．

解答： 解：（1）圓心到直線l的距離為d=

|-4|

1+1

=2

2

所以P到直線l：x+y-4=0的距離的最小值為：2

2

-2；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，
因?yàn)閘與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，所以k＜0，b＞0，且A（-

b

k

，0），B（0，b），
又因?yàn)閘與圓C相切，
所以C點(diǎn)到直線l的距離等于圓的半徑2，即：

|b|

k2+1

=2，即b²=4k²+4，
所以S_△ABC=

1

2

•(-

b

k

)•b=

-(4k2+4)

2k

=2（-k+

1

-k

）≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)k=-1時(shí)，△ABC的面積最小，
此時(shí)b=2

2

，
所以直線l的方程為y=-x+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一個(gè)性質(zhì)，以及結(jié)合點(diǎn)到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系．