Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），如果同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0
②f（1）=1
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂） 成立；則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．試證明下列三個命題：
（1）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，則f（0）=0；
（2）函數(shù)f（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是理想函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）是理想函數(shù)，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）首先根據(jù)理想函數(shù)的概念，可以采用賦值法，可得f（0）=0；
（2）根據(jù)“理想函數(shù)”的定義，只要檢驗函數(shù)gfx）=2^x-1，是否滿足理想函數(shù)的三個條件即可；
（3）根據(jù)“理想函數(shù)”的定義進行推導即可．

解答： 解：（1）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0；
（2）①顯然f（x）=2^x-1在[0，1]上滿足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0，
故f（x）=2^x-1滿足條件①②③，
故f（x）=2^x-1為理想函數(shù)．
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)問題的常用方法，函數(shù)的新定義則轉化為函數(shù)性質問題，本題則結合指數(shù)函數(shù)的性質，探討函數(shù)的函數(shù)值域，指數(shù)函數(shù)的單調性的應用等知識點．綜合性較強．