Question

已知tan（θ+

π

4

）=3，則sin2θ-2cos²θ=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數,二倍角的余弦

專題：三角函數的求值

分析：利用兩角差的正切可求得tanθ=tan[（θ+

π

4

）-

π

4

]=

1

2

，再將所求的關系式轉化為sin2θ-2cos²θ=

2sinθcosθ-2cos2θ

sin2θ+cos2θ

=

2tanθ-2

tan2θ+1

，計算即可．

解答： 解：∵tan（θ+

π

4

）=3，
∴tanθ=tan[（θ+

π

4

）-

π

4

]=

tan(θ+ π 4 )-tan π 4

1+tan(θ+ π 4 )tan π 4

=

3-1

1+3

=

1

2

，
∴sin2θ-2cos²θ=

2sinθcosθ-2cos2θ

sin2θ+cos2θ

=

2tanθ-2

tan2θ+1

=

1-2

1 4 +1

=-

4

5

．
故答案為：-

4

5

．

點評：本題考查兩角和與差的正切，考查二倍角的余弦與正弦，“弦”化“切”是關鍵，考查轉化思想．